Операции над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Tags: математика

Add to Favorites

0 Reviews | Write a review

Матрицы имели важное значение в математике и физике задолго до появления компьютеров и смартфонов, однако с появлением электронно-вычислительных устройств их роль стала определяющей.

Фактически, вся современная электроника, начиная от элементарных калькуляторов и заканчивая сложными высокоточными агрегатами, функционирует на принципах, аналогичных матричному исчислению.

В основе программных комплексов, которые инженеры используют для проектирования строительных конструкций или деталей машин, лежат операции с матрицами и векторами.

Компьютерная графика, включая изометрическое и перспективное отображения, на уровне математики реазлизуется через матрицы. Даже поверхность экрана монитора, планшета или мобильного устройства состоит из набора отдельных ячеек с заданным цветом — это ли не матрица чисел? Электронная таблица, в которой вы составляете годовой отчет или подсчитываете прибыль, также работает по принципу матрицы.

Практически вся современная инженерия, в том или ином виде, основана на матричном анализе, хотя это может быть на первый взгляд неочевидно.

Рассмотрим некоторые основные операции с матрицами:

Сравнение матриц
Транспонирование
Сложение матриц
Произведение матрицы на число
Умножение матриц
Определитель матрицы
Обращение матриц
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Инженерный метод решения СЛАУ

Как скачать и запустить скрипт

Скрипт, который упоминается в лекции, Вы найдете на вкладке Script. Если Вы являетесь активным подписчиком, то Вы можете скачать готовый документ (вкладка Download).

To view this content you need to be a member

Click MEMBERSHIP to subscribe or LOG IN if you are already our subscriber

MEMBERSHIP LOG IN

uses Classes, Dialogs;

var
  i1, i2, i3, j: Integer;            
  x1, x2, x3: Double;
  dx: Double;
  F1, F2, F3: Double;
  
const
  MinX  = -10.0;
  MaxX  = +10.0;
  Steps = 200;  
  Tol   = 0.1;
 
begin
  j := 1;
  ///
  /// шаг итераций:
  ///
  dx := (MaxX - MinX) / Steps;
  ///
  /// старт цикла для переменной x1:
  ///
  x1 := MinX;
  for i1 := 1 to Steps do
    begin
      ///
      /// старт цикла для переменной x2:   
      ///
      x2 := MinX;
      for i2 := 1 to Steps do
        begin
          ///
          /// старт цикла для переменной x3:
          ///
          x3 := MinX;
          for i3 := 1 to Steps do
            begin
              ///
              /// функции, описывающие каждое уравнение СЛАУ:
              ///
              F1 :=  2.0*x1 - 4.0*x2 - 6.6;
              F2 := -4.0*x1 + 5.7*x2;
              F3 :=  1.1*x3 - 10.2; 
              ///
              /// проверка: если все уравнения тождественно равны нулю
              /// в рамках точности Tol, то решение найдено.
              ///
              if (Abs(F1) <= Tol) and (Abs(F2) <= Tol) and (Abs(F3) <= Tol) then
                begin
                  ShowMessage(
                    'x1 = ' + Format('%1.3f', [x1]) + #13#10 +
                    'x2 = ' + Format('%1.3f', [x2]) + #13#10 +
                    'x3 = ' + Format('%1.3f', [x3]) + #13#10 +
                    #13#10 +
                    'iterations: ' + IntToStr(j));
                  Exit;
                end; 
              ///
              /// решение не найдено;
              /// увеличиваем значение корня x3 и счетчика итераций j:
              ///
              x3 := x3 + dx; 
              Inc(j);
            end;
          x2 := x2 + dx;  
        end;           
      x1 := x1 + dx; 
    end;               
end;

How to use this content

Download and install TechEditor (don't worry, it's absolutely freeware from Dystlab™)
Download and unzip content
Open document (run file with extension *.tec) on your computer