Численное интегрирование дифференциального уравнения движения

Tags: математика , динамика

0 Reviews | Write a review

Аналитическая зависимость дает точное решение для любых исходных данных, и в этом ее неоспоримое преимущество, по сравнению с аппроксимацией.

Однако, точное аналитическое решение на практике может быть получено лишь для небольшого круга задач. В остальных случаях, расчетчику приходится прибегать к численному, приближенному решению.

Решить уравнение численно означает применить такие математические методы, которые не требуют существенных преобразований исходной системы уравнений.

Существует целый ряд методов численного интегрирования. Каждый метод имеет свои достоинства и недостатки, и ориентирован на определенный класс задач.

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты является одним из самых распространённых численных методов решений в технике.

Содержание лекции:

Аналитическое решение уравнения свободных колебаний
Численное решение уравнения свободных колебаний
Метод Рунге-Кутты (теория)
Метод Рунге-Кутты (практическая реализация)

Как скачать и запустить скрипт

Скрипт, который упоминается в лекции, Вы найдете на вкладке Script. Если Вы являетесь активным подписчиком, то Вы можете скачать готовый документ (вкладка Download).

To view this content you need to be a member

Click MEMBERSHIP to subscribe or LOG IN if you are already our subscriber

MEMBERSHIP LOG IN

///
/// Решение дифференциального уравнения второго порядка
/// методом Рунге-Кутты 4 порядка точности.
///
/// Дифференциальное уравнение: x"+p^2*x=0
///                                    

const
  k  = 250;
  m  = 50;
  p2 = k / m;
            
///
/// Функция для вычисления производной скорости.
///
function dV(t, x, v: Double): Double; 
begin
  Result := -p2 * x; 
end;

///
/// Функция для вычисления производной перемещения.
///
function dX(t, x, v: Double): Double; 
begin          
  Result := v;   
end;

///
/// Процедура для вычисления текущего значения перемещения (xi) и скорости (vi). 
/// Значения перемещения и скорости для предыдущего шага берутся по входным xi, vi. 
/// В конце расчета xi, vi соответствуют текущему моменту времени t+h.
/// Параметры:
///   t - время;
///   h - шаг интегрирования.
///
procedure SolverRK4(t, h: Double; var xi, vi: Double);
var   
  V1, V2, V3, V4: Double;
  X1, X2, X3, X4: Double;
begin              
  V1 := dV(t, xi, vi);        
  X1 := dX(t, xi, vi);        
                                         
  V2 := dV(t + h/2, xi + X1*h/2, vi + V1*h/2);   
  X2 := dX(t + h/2, xi + X1*h/2, vi + V1*h/2); 
        
  V3 := dV(t + h/2, xi + X2*h/2, vi + V2*h/2);  
  X3 := dX(t + h/2, xi + X2*h/2, vi + V2*h/2);  
                                 
  V4 := dV(t + h,   xi + X3*h,   vi + V3*h); 
  X4 := dX(t + h,   xi + X3*h,   vi + V3*h);  
  
  vi := vi + (V1 + 2*V2 + 2*V3 + V4) * h / 6;     
  xi := xi + (X1 + 2*X2 + 2*X3 + X4) * h / 6;     
end;            
               
var                               
  i: Integer;                
  t, x, v, h: Double;    
  
///                          
/// ОСНОВНОЙ БЛОК
///

begin                           
  t := 0;      // начальное время               
  h := 0.001;  // шаг времени             
  x := 0.15;   // начальное перемещение              
  v := 1.40;   // начальная скорость          
  for i := 1 to 100 do
    begin   
      SolverRK4(t, h, x, v);
      t := t + h;
    end;       
  ShowMessage('t=' + FloatToStr(t) + '; x=' + FloatToStr(x) + '; v=' + FloatToStr(v));
end;

How to use this content

Download and install TechEditor (don't worry, it's absolutely freeware from Dystlab™)
Download and unzip content
Open document (run file with extension *.tec) on your computer